حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 r}{{(1 - r)}^{7}} d r$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - r$ . إذن $d u = - d r$ ، لذا $- d u = d r$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - r$ . أوجِد $\frac{d u}{d r}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - r$ .

$\frac{d}{d r} [1 - r]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - r$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$ .

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [- r]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [- r]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $- r$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $- \frac{d}{d r} [r]$ .

$0 - \frac{d}{d r} [r]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 1$

خطوة 1.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- (2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u$

خطوة 5.2

انقُل $u^{7}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) {(u^{7})}^{- 1} d u$

خطوة 5.3

اضرب الأُسس في ${(u^{7})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{7 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.3.2

اضرب $7$ في $- 1$ .

$- 2 \int (- u + 1) u^{- 7} d u$

خطوة 6

اضرب $(- u + 1) u^{- 7}$ .

$- 2 \int - u \cdot u^{- 7} + 1 u^{- 7} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $u$ في $u^{- 7}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

انقُل $u^{- 7}$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u) + 1 u^{- 7} d u$

خطوة 7.1.2

اضرب $u^{- 7}$ في $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- 2 \int - (u^{- 7} u^{1}) + 1 u^{- 7} d u$

خطوة 7.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 2 \int - u^{- 7 + 1} + 1 u^{- 7} d u$

خطوة 7.1.3

أضف $- 7$ و $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + 1 u^{- 7} d u$

خطوة 7.2

اضرب $u^{- 7}$ في $1$ .

$- 2 \int - u^{- 6} + u^{- 7} d u$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- 2 (\int - u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- 2 (- \int u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 6}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $u^{- 5}$ و $\frac{1}{5}$ .

$- 2 (- (- \frac{u^{- 5}}{5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

خطوة 11.2

انقُل $u^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) + \int u^{- 7} d u)$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 7}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{6} u^{- 6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6} u^{- 6} + C)$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اجمع $u^{- 6}$ و $\frac{1}{6}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{u^{- 6}}{6} + C)$

خطوة 13.1.2

انقُل $u^{- 6}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6 u^{6}} + C)$

خطوة 13.2

بسّط.

$- 2 (\frac{1}{5 u^{5}} - \frac{1}{6 u^{6}}) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - r$ .

$- 2 (\frac{1}{5 {(1 - r)}^{5}} - \frac{1}{6 {(1 - r)}^{6}}) + C$