حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \ln (2 x + 1) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x + 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \ln (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\ln (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\ln (u)}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \ln (u) d u$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = \ln (u)$ و $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $u$ و $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int d u)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - (u + C))$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - u) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x + 1)) + C$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x) - 1 \cdot 1) + C$

خطوة 9.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1 \cdot 1) + C$

خطوة 9.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1) + C$

خطوة 9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اجمع $\ln (2 x + 1)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

خطوة 9.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

خطوة 9.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

خطوة 9.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x) + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.3

اضرب $\frac{\ln (2 x + 1)}{2}$ في $1$ .

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.5

لكتابة $\ln (2 x + 1) x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2 x + 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.6

اجمع $\ln (2 x + 1) x$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.8.1

أخرِج العامل $\ln (2 x + 1)$ من $\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.8.1.1

أخرِج العامل $\ln (2 x + 1)$ من $\ln (2 x + 1) x \cdot 2$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.8.1.2

اضرب في $1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.8.1.3

أخرِج العامل $\ln (2 x + 1)$ من $\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2 + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.8.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

خطوة 9.4.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C$

خطوة 9.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- x + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1}{2} + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$- x + \frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1) + C$