حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (4 x^{3} + x) \sqrt{4 x^{2} + 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 x^{2} + 1$ . إذن $d u = 8 x d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 x + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $8 x$ و $0$ .

$8 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

خطوة 2.2

اضرب $u$ في $u^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $u$ في $u^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

خطوة 2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

خطوة 2.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

خطوة 2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} \frac{1}{8} d u$

خطوة 2.2.4

أضف $2$ و $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{8} d u$

خطوة 2.3

اجمع $u^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{8} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ بالصيغة $\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{20} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$