حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \ln (x^{2})$ . إذن $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ ، لذا $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \ln (x^{2})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

خطوة 1.1.3.2.2

اجمع $\frac{2}{x^{2}}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

خطوة 1.1.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

خطوة 1.1.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

خطوة 1.1.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = \ln (1)$

خطوة 1.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب الأُسس في ${(e^{8})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $8$ في $2$ .

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

خطوة 1.5.2

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $16$ خارج الأُس.

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

خطوة 1.5.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

خطوة 1.5.4

اضرب $16$ في $1$ .

$u_{upper} = 16$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

خطوة 4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ في $16$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.2

ارفع $16$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $4096$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

خطوة 4.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

خطوة 4.4.2.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

خطوة 4.4.3

أضف $\frac{4096}{3}$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

خطوة 4.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.4.4.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{4096}{6}$

خطوة 4.4.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $4096$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4096$ .

$\frac{2 (2048)}{6}$

خطوة 4.4.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.4.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.4.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2048}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2048}{3}$

الصيغة العشرية:

$682.\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$682 \frac{2}{3}$