حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{3} \frac{e^{\frac{3}{x}}}{x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{3}{x}$ . إذن $d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ ، لذا $1 d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{3}{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.1.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

خطوة 1.1.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.1.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

خطوة 1.1.6.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{x^{2}}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{3}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{3}{1}$

خطوة 1.3

اقسِم $3$ على $1$ .

$u_{lower} = 3$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{3}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{3}{3}$

خطوة 1.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{3}^{1} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

خطوة 2

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- \frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{3} \int_{3}^{1} e^{u} d u$

خطوة 3

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{3}^{1}$

خطوة 4

احسِب قيمة $e^{u}$ في $1$ وفي $3$ .

$- \frac{1}{3} ((e^{1}) - e^{3})$

خطوة 5

بسّط.

$- \frac{1}{3} (e - e^{3})$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{3} \cdot (e - e^{3})$

الصيغة العشرية:

$5.78908503 \dots$