حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{6 \cos (t)}{{(2 + \sin (t))}^{2}} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 + \sin (t)$ . إذن $d u = \cos (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 + \sin (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 + \sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [2 + \sin (t)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + \sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

خطوة 1.1.3

مشتق $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\cos (t)$ .

$0 + \cos (t)$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{6}{u^{2}} d u$

خطوة 2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$6 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$6 \int u^{- 2} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$6 (- u^{- 1} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $6 (- u^{- 1} + C)$ بالصيغة $6 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$6 (- \frac{1}{u}) + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 6 \frac{1}{u} + C$

خطوة 5.2.2

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 6}{u} + C$

خطوة 5.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6}{u} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + \sin (t)$ .

$- \frac{6}{2 + \sin (t)} + C$