حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{9 x}{\sqrt{3 x^{2} + 8}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 x^{2} + 8$ . إذن $d u = 6 x d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 x^{2} + 8$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $6 x$ و $0$ .

$6 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{9}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{9}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{9}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

خطوة 2.2

انقُل $6$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{9}{6 \cdot \sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\int \frac{3 (3)}{6 \sqrt{u}} d u$

خطوة 2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6 \sqrt{u}$ .

$\int \frac{3 (3)}{3 (2 \sqrt{u})} d u$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 \cdot 3}{3 (2 \sqrt{u})} d u$

خطوة 2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{3}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ بالصيغة $3 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$3 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x^{2} + 8$ .

$3 {(3 x^{2} + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$