حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{4 x}{3 {(9 - 2 x^{2})}^{\frac{4}{3}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 9 - 2 x^{2}$ . إذن $d u = - 4 x d x$ ، لذا $\frac{1}{- 4 x} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 9 - 2 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $9 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 - 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$0 - 4 x$

خطوة 1.1.4

اطرح $4 x$ من $0$ .

$- 4 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{3 u^{\frac{4}{3}}} d u$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{3 u^{\frac{4}{3}}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{3 u^{\frac{4}{3}}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}} d u)$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $u^{\frac{4}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{4}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اجمع $\frac{4}{3}$ و $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{4 \cdot - 1}{3}} d u$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 4}{3}} d u$

خطوة 5.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{4}{3}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{4}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- 3 u^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} (- 3 u^{- \frac{1}{3}} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{3} (- 3 u^{- \frac{1}{3}} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$ .

$- \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$

خطوة 7.2

أعِد كتابة $- \frac{1}{3} (- 3 \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$ بالصيغة $- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{3} (- \frac{3}{u^{\frac{1}{3}}}) + C$

خطوة 7.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

خطوة 7.3.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

خطوة 7.3.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{3}{u^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3}{3 u^{\frac{1}{3}}} + C$

خطوة 7.3.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3 u^{\frac{1}{3}}} + C$

خطوة 7.3.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 - 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(9 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{3}}} + C$