حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{24 x}{\sqrt[3]{6 x^{2} + 1}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 6 x^{2} + 1$ . إذن $d u = 12 x d x$ ، لذا $\frac{1}{12 x} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 6 x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $6 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $12 x$ و $0$ .

$12 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{u}} d u$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{3}}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 3.2

انقُل $u^{\frac{1}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 3.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

خطوة 3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ بالصيغة $3 u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$3 u^{\frac{2}{3}} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x^{2} + 1$ .

$3 {(6 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}} + C$