حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{3} + 5$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{3} + 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{3} + 5$ .

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 5$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$u_{lower} = - 1 + 5$

خطوة 1.3.2

أضف $- 1$ و $5$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{3} + 5$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 5$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 5$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $5$ .

$u_{upper} = 6$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{4}^{6} \sqrt{u} d u$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{6} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{6}$

خطوة 4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $6$ وفي $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 4.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 4.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

خطوة 4.3.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

خطوة 4.3.2.2

اجمع $- 8$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 8$ في $2$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3}$

خطوة 4.3.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

الصيغة العشرية:

$4.46462563 \dots$