حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \csc (π A)$ . إذن $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ ، لذا $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \csc (π A)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d A}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\csc (π A)$ .

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ هو $f' (g (A)) g' (A)$ حيث $f (A) = \csc (A)$ و $g (A) = π A$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $π A$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\csc (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $π A$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $A$ ، إذن مشتق $π A$ بالنسبة إلى $A$ يساوي $π \frac{d}{d A} [A]$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ هو $n A^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $π$ في $1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

خطوة 1.1.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $- \csc (π A) \cot (π A) π$ .

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $A$ في $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $π$ و $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{6})$ هي $2$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $A$ في $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

خطوة 2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{π} u_{2}$ في $1$ وفي $2$ .

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

خطوة 4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

خطوة 4.3

اجمع $\frac{1}{π}$ و $2$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 + 2}{π}$

خطوة 4.4.2

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{1}{π}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{π}$

الصيغة العشرية:

$0.31830988 \dots$