حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{3} \sqrt{4 + x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int {\sqrt{u - 4}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ بالصيغة $u - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u - 4}$ في صورة ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int {(u - 4)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.1.5

بسّط.

$\int (u - 4) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{u}$ .

$\int (u - 4) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 2.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 4) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.2

اجمع $u$ و $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.7

أضف $2$ و $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.8

اجمع $- 4$ و $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 4 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2} d u$

خطوة 4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} d u$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} d u$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 u^{\frac{1}{2}}}{1} d u$

خطوة 4.2.4

اقسِم $- 2 u^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 8

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 10.2

أعِد كتابة $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ بالصيغة $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 10.3.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 10.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 + x^{2}$ .

$\frac{1}{5} {(4 + x^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$