حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x$

خطوة 1

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 1 + \frac{1}{x}$ . إذن $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ ، لذا $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 1 + \frac{1}{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2}$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 2.1.4.2

اطرح $\frac{1}{x^{2}}$ من $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - \sqrt{u} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 6

أعِد كتابة $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + \frac{1}{x}$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{3}{2}} + C$