حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sqrt[3]{x^{2} - 9} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} - 9$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} - 9$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt[3]{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \sqrt[3]{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ بالصيغة $\frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{3}{8} u^{\frac{4}{3}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 9$ .

$\frac{3}{8} {(x^{2} - 9)}^{\frac{4}{3}} + C$