حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 1.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int {\sqrt{- u + 1}}^{2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ بالصيغة $- u + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{- u + 1}$ في صورة ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int {(- u + 1)}^{1} u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.5

بسّط.

$\int (- u + 1) u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int (- u + 1) u^{\frac{3}{2}} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 2.3

اجمع $u^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int (- u + 1) (- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int (- u + 1) (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}) d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \int - u \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 4.2

اجمع $- u$ و $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \int \frac{- u \cdot u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 4.3

أخرِج السالب.

$- \int \frac{- (u \cdot u^{\frac{3}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 4.4

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \int \frac{- (u^{1} u^{\frac{3}{2}})}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \int \frac{- u^{1 + \frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 4.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \int \frac{- u^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \int \frac{- u^{\frac{2 + 3}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 4.8

أضف $2$ و $3$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{2} + 1 \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 4.9

اضرب $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2}$ في $1$ .

$- \int \frac{- u^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- (\int - \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (- \int \frac{u^{\frac{5}{2}}}{2} d u + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (- (\frac{1}{2} \int u^{\frac{5}{2}} d u) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 10

اجمع $\frac{2}{7}$ و $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

خطوة 13.2

بسّط.

$- (- \frac{u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$- (- \frac{1}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{2}$ .

$- (- \frac{1}{7} {(1 - x^{2})}^{\frac{7}{2}} + \frac{1}{5} {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$