حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{4} \frac{1}{5 - 3 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 5 - 3 x$ . إذن $d u = - 3 d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 5 - 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $5 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$0 - 3$

خطوة 1.1.4

اطرح $3$ من $0$ .

$- 3$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 5 - 3 x$ .

$u_{lower} = 5 - 3 \cdot 2$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$u_{lower} = 5 - 6$

خطوة 1.3.2

اطرح $6$ من $5$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 5 - 3 x$ .

$u_{upper} = 5 - 3 \cdot 4$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $- 3$ في $4$ .

$u_{upper} = 5 - 12$

خطوة 1.5.2

اطرح $12$ من $5$ .

$u_{upper} = - 7$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 7$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

خطوة 2.3

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{3 u} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{3 u} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{3} \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| u |)]_{- 1}^{- 7}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $- 7$ وفي $- 1$ .

$- \frac{1}{3} ((\ln (| - 7 |)) - \ln (| - 1 |))$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$

خطوة 6.2.2

اجمع $\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})}{3}$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 7$ و $0$ تساوي $7$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{| - 1 |})}{3}$

خطوة 6.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 1$ و $0$ تساوي $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{1})}{3}$

خطوة 6.3.3

اقسِم $7$ على $1$ .

$- \frac{\ln (7)}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{\ln (7)}{3}$

الصيغة العشرية:

$- 0.64863671 \dots$