حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} 2 x {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} u^{2} d u$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

خطوة 3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $2$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

خطوة 3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

خطوة 3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 3.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 3.4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{8 - 1}{3}$

خطوة 3.4.3.2

اطرح $1$ من $8$ .

$\frac{7}{3}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{7}{3}$

الصيغة العشرية:

$2.\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$2 \frac{1}{3}$