حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{x^{5} - 8} \cdot 5 x^{4} d x$

خطوة 1

انقُل $5$ إلى يسار $\sqrt{x^{5} - 8}$ .

$\int 5 \sqrt{x^{5} - 8} x^{4} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x^{5} - 8$ . إذن $d u = 5 x^{4} d x$ ، لذا $\frac{1}{5 x^{4}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x^{5} - 8$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{5} - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 8]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8]$

خطوة 2.1.4

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 x^{4} + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $5 x^{4}$ و $0$ .

$5 x^{4}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

خطوة 3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{5} - 8$ .

$\frac{2}{3} {(x^{5} - 8)}^{\frac{3}{2}} + C$