حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

تكامل $\csc (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

خطوة 3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ في $\frac{3 π}{4}$ وفي $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{4})$ هي $\sqrt{2}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

خطوة 3.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

خطوة 3.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

خطوة 3.2.4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن ظل التمام سالب في الربع الثاني.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

خطوة 3.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

خطوة 3.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

خطوة 3.3.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

خطوة 3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

خطوة 3.3.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{4})$ هي $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

خطوة 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ تساوي تقريبًا $2.41421356$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

خطوة 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ تساوي تقريبًا $0.41421356$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ في $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ في $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

خطوة 4.3

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

خطوة 4.4

بسّط.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

خطوة 4.5

اقسِم $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ على $1$ .

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

خطوة 4.6

أعِد كتابة $\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ بالصيغة $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

خطوة 4.7

أضف $\ln (\sqrt{2} + 1)$ و $\ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

الصيغة العشرية:

$1.76274717 \dots$