حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} + 4$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ بالصيغة $u - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u - 4}$ في صورة ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{{(u - 4)}^{1}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.5

بسّط.

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{u - 4}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{\frac{3}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

خطوة 4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5

وسّع $(u - 4) u^{- \frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5.6

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - 4 u^{- \frac{3}{2}} d u)$

خطوة 9

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 \int u^{- \frac{3}{2}} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - 4 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C))$

خطوة 11

بسّط.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

لكتابة $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

خطوة 13.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.2

اضرب ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.2.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.2.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 ({(x^{2} + 4)}^{1} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.3

بسّط ${(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 4 + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.4

أضف $4$ و $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.4

اجمع.

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (2 (x^{2} + 8))}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x^{2} + 8)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.7

اضرب $x^{2} + 8$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 8}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$