حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{21 x^{2}}{4 {(x^{3} + 5)}^{\frac{5}{4}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{3} + 5$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{3} + 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 1.1.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{7}{4 u^{\frac{5}{4}}} d u$

خطوة 2

بما أن $\frac{7}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{7}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{7}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{5}{4}}} d u$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $u^{\frac{5}{4}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int {(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1} d u$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5}{4} \cdot - 1} d u$

خطوة 3.2.2

اضرب $\frac{5}{4} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اجمع $\frac{5}{4}$ و $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5 \cdot - 1}{4}} d u$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{- 5}{4}} d u$

خطوة 3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{7}{4} \int u^{- \frac{5}{4}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{5}{4}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- 4 u^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$ بالصيغة $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ .

$\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ بالصيغة $\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{7}{4} (- \frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

خطوة 5.3.2

اضرب $\frac{7}{4}$ في $\frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \frac{7 \cdot 4}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

خطوة 5.3.3

اضرب $7$ في $4$ .

$- \frac{28}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

خطوة 5.3.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أخرِج العامل $4$ من $4 u^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 (u^{\frac{1}{4}})} + C$

خطوة 5.3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

خطوة 5.3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{7}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} + 5$ .

$- \frac{7}{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{4}}} + C$