حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} \frac{x - 4}{x^{2}} d x$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int_{1}^{2} (x - 4) x^{- 2} d x$

خطوة 3

اضرب $(x - 4) x^{- 2}$ .

$\int_{1}^{2} x \cdot x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

خطوة 4

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

خطوة 4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{1}^{2} x^{1 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

خطوة 4.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\int_{1}^{2} x^{- 1} - 4 x^{- 2} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{2} x^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

خطوة 6

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{- 2} d x$

خطوة 7

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $2$ وفي $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - 4 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

خطوة 9.1.2

احسِب قيمة $- x^{- 1}$ في $2$ وفي $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

خطوة 9.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

خطوة 9.1.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + 1)$

خطوة 9.1.3.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

خطوة 9.1.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 \frac{- 1 + 2}{2}$

خطوة 9.1.3.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 4 (\frac{1}{2})$

خطوة 9.1.3.6

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4}{2}$

خطوة 9.1.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

خطوة 9.1.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

خطوة 9.1.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 9.1.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 2}{1}$

خطوة 9.1.3.7.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - 2$

خطوة 9.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - 2$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - 2$

خطوة 9.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - 2$

خطوة 9.3.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$\ln (2) - 2$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (2) - 2$

الصيغة العشرية:

$- 1.30685281 \dots$

خطوة 11