حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 9 x^{2} \sqrt{1 - x^{3}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - x^{3}$ . إذن $d u = - 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{- 3 x^{2}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{3}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

خطوة 1.1.4

اطرح $3 x^{2}$ من $0$ .

$- 3 x^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - 3 \sqrt{u} d u$

خطوة 2

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$- 3 \int \sqrt{u} d u$

خطوة 3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $- 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $- 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $- 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ بالصيغة $- 2 u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- 2 u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{3}$ .

$- 2 {(1 - x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$