حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = e^{x} + 1$ . إذن $d u = e^{x} d x$ ، لذا $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = e^{x} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x} + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$e^{x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = e^{x} + 1$ .

$u_{lower} = e^{0} + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = e^{x} + 1$ .

$u_{upper} = e^{1} + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

$u_{upper} = e + 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e + 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{e + 1} \frac{1}{u} d u$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{e + 1}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $e + 1$ وفي $2$ .

$(\ln (| e + 1 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e + 1 |}{| 2 |})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

$e + 1$ تساوي تقريبًا $3.71828182$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (\frac{e + 1}{| 2 |})$

خطوة 5.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

الصيغة العشرية:

$0.62011450 \dots$