حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int e^{\cos (π x)} \sin (π x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \cos (π x)$ . إذن $d u_{2} = - π \sin (π x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{π} d u_{2} = \sin (π x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \cos (π x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $π$ في $1$ .

$- \sin (π x) π$

خطوة 1.1.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int - e^{u_{2}} \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\int - e^{u_{2}} \frac{1}{π} d u_{2}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{π}$ و $e^{u_{2}}$ .

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{π} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 5

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{π} (e^{u_{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

$- \frac{1}{π} e^{u_{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (π x)$ .

$- \frac{1}{π} e^{\cos (π x)} + C$