حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{6}{π}}^{\frac{2}{3 π}} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{1}{x}$ . إذن $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ ، لذا $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{1}{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{\frac{6}{π}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$u_{lower} = 1 \frac{π}{6}$

خطوة 1.3.2

اضرب $\frac{π}{6}$ في $1$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{\frac{2}{3 π}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$u_{upper} = 1 \frac{3 π}{2}$

خطوة 1.5.2

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $1$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (u) d u$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (u) d u$

خطوة 3

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$- (\sin (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}})$

خطوة 4

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $\frac{3 π}{2}$ وفي $\frac{π}{6}$ .

$- ((\sin (\frac{3 π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$- (\sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{1}{2})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- (- \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{2})$

خطوة 6.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2})$

خطوة 6.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- (- 1 - \frac{1}{2})$

خطوة 6.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- (- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 6.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 6.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{- 2 - 1}{2}$

خطوة 6.5.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$- \frac{- 3}{2}$

خطوة 6.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{3}{2}$

خطوة 6.7

اضرب $- - \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2})$

خطوة 6.7.2

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$\frac{3}{2}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3}{2}$

الصيغة العشرية:

$1.5$

صيغة العدد الذي به كسر:

$1 \frac{1}{2}$