حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \sec (x)$ . إذن $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

خطوة 1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{4})$ هي $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

خطوة 1.5.2

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 1.5.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 1.5.3.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 1.5.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 1.5.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.5.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 1.5.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.5.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.5.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.5.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.5.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 1.5.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 1.5.4.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{2}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\sqrt{2}} u d u$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{\sqrt{2}}$

خطوة 3

بسّط بحذف الأس بالجذر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} u^{2}$ في $\sqrt{2}$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \cdot 2^{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

خطوة 3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 3.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 - 1}{2}$

خطوة 3.3.3.3

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$