حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{4} \sqrt{2 x + 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x + 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4 + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $2$ في $4$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $8$ و $1$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $9$ وفي $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $27$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.2

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{1}{2} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.3.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$\frac{1}{2} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 6.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (18 - \frac{2}{3})$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 6.5.2

اجمع $18$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 6.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

خطوة 6.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.4.1

اضرب $18$ في $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

خطوة 6.5.4.2

اطرح $2$ من $54$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{52}{3}$

خطوة 6.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{2 \cdot 3}$

خطوة 6.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{52}{6}$

خطوة 6.6.3

احذِف العامل المشترك لـ $52$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.1

أخرِج العامل $2$ من $52$ .

$\frac{2 (26)}{6}$

خطوة 6.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 26}{2 \cdot 3}$

خطوة 6.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 26}{2 \cdot 3}$

خطوة 6.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{26}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{26}{3}$

الصيغة العشرية:

$8.\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$8 \frac{2}{3}$