حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{\sqrt{5 x + 8}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 5 x + 8$ . إذن $d u = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 5 x + 8$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $5 x + 8$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 8]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $5$ و $0$ .

$5$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{5} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 5} d u$

خطوة 2.2

انقُل $5$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{5 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{5} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{5} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{5} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{5} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\frac{1}{5} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ بالصيغة $\frac{2}{5} u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x + 8$ .

$\frac{2}{5} {(5 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$