حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{3}^{4} x \sqrt{x - 3} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x - 3$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x - 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

خطوة 1.3

اطرح $3$ من $3$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

خطوة 1.5

اطرح $3$ من $4$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{1} (u + 3) \sqrt{u} d u$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} (u + 3) u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وسّع $(u + 3) u^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.6

أضف $2$ و $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.7

أعِد ترتيب $u^{\frac{3}{2}}$ و $3 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $1$ وفي $0$ .

$3 ((\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

خطوة 8.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

احسِب قيمة $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ في $1$ وفي $0$ .

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.2.3

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.3.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.4.2

اضرب $0$ في $\frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.5

أضف $\frac{2}{3}$ و $0$ .

$3 (\frac{2}{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اجمع $3$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.6.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.6.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.6.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.7.2

اضرب $\frac{2}{5}$ في $1$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

خطوة 8.8.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

خطوة 8.8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

خطوة 8.8.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5}$

خطوة 8.8.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0$

خطوة 8.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5})$

خطوة 8.9.2

اضرب $0$ في $\frac{2}{5}$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0$

خطوة 8.10

أضف $\frac{2}{5}$ و $0$ .

$2 + \frac{2}{5}$

خطوة 8.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.11.1

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$

خطوة 8.11.2

اجمع $2$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5}$

خطوة 8.11.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}$

خطوة 8.11.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.11.4.1

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{10 + 2}{5}$

خطوة 8.11.4.2

أضف $10$ و $2$ .

$\frac{12}{5}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{12}{5}$

الصيغة العشرية:

$2.4$

صيغة العدد الذي به كسر:

$2 \frac{2}{5}$