حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3} - 6 x - 4}{x + 2} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{{(u - 2)}^{3} - 6 (u - 2) - 4}{u} d u$

خطوة 2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} + \frac{- 6 (u - 2)}{u} + \frac{- 4}{u} d u$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int \frac{- 6 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 4}{u} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 4}{u} d u$

خطوة 4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 5

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 6.2

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 {(- 2)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 6.3

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 6.4

انقُل $u^{2}$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 6.5

انقُل $u$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 6.6

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 6.7

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} - 6 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 6.8

اضرب $- 6$ في $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 6.9

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u + 4 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 6.10

اضرب $4$ في $- 2$ .

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 7

اقسِم $u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8$ على $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$u$

$0$

$u^{3}$

$6 u^{2}$

$12 u$

$8$

خطوة 7.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $u^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$

خطوة 7.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			+	$u^{3}$	+	$0$

خطوة 7.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $u^{3} + 0$

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$

خطوة 7.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$

خطوة 7.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

خطوة 7.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 u^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

خطوة 7.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					-	$6 u^{2}$	+	$0$

خطوة 7.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 u^{2} + 0$

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$

خطوة 7.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$

خطوة 7.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

خطوة 7.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $12 u$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

خطوة 7.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							+	$12 u$	+	$0$

خطوة 7.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $12 u + 0$

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$

خطوة 7.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$
									-	$8$

خطوة 7.16

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int u^{2} - 6 u + 12 - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{2} d u + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 10

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 6$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 \int u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 13

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - \int \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 15

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - (8 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 16

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 17

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 18

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - \int \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 19

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - (6 \int \frac{u - 2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 20

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 \int \frac{u - 2}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 21

اقسِم $u - 2$ على $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$u$

$0$

$u$

$2$

خطوة 21.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $u$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$2$

خطوة 21.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			+	$u$	+	$0$

خطوة 21.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$

خطوة 21.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$
					-	$2$

خطوة 21.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 \int 1 - \frac{2}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 22

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (\int d u + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 23

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 24

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 25

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - (2 \int \frac{1}{u} d u)) + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 26

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 27

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{4}{u} d u$

خطوة 28

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{4}{u} d u$

خطوة 29

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - (4 \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 30

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 4 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 31

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 4 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 32

بسّط.

$\frac{u^{3}}{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 \ln (| u |) - 6 u + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

خطوة 33

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 \ln (| u |) - 6 u + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

خطوة 34

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 34.1

اطرح $6 u$ من $12 u$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u - 8 \ln (| u |) + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

خطوة 34.2

أضف $- 8 \ln (| u |)$ و $12 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + 4 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

خطوة 34.3

اطرح $4 \ln (| u |)$ من $4 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + 0 + C$

خطوة 34.4

أضف $\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u$ و $0$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + C$

خطوة 35

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(x + 2)}^{3} - 3 {(x + 2)}^{2} + 6 (x + 2) + C$