حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 3 t^{2} {(2 t^{3} + 8)}^{- 1} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 t^{3} + 8$ . إذن $d u = 6 t^{2} d t$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = t^{2} d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 t^{3} + 8$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3} + 8]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t^{3} + 8$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t^{3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [8]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [8]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$6 t^{2} + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $6 t^{2}$ و $0$ .

$6 t^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 3 u^{- 1} \frac{1}{6} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $3$ .

$\int \frac{3}{6} u^{- 1} d u$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{3}{6}$ و $u^{- 1}$ .

$\int \frac{3 u^{- 1}}{6} d u$

خطوة 2.3

انقُل $u^{- 1}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{3}{6 u} d u$

خطوة 2.4

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\int \frac{3 (1)}{6 u} d u$

خطوة 2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6 u$ .

$\int \frac{3 (1)}{3 (2 u)} d u$

خطوة 2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 \cdot 1}{3 (2 u)} d u$

خطوة 2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 t^{3} + 8 |) + C$