حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{3} \frac{x}{{(x^{2} - 3)}^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} - 3$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} - 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 3$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

خطوة 1.3.2

اطرح $3$ من $4$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 3$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 9 - 3$

خطوة 1.5.2

اطرح $3$ من $9$ .

$u_{upper} = 6$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 6$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u^{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{- 2} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{6}$

خطوة 6

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $6$ وفي $1$ .

$\frac{1}{2} ((- 6^{- 1}) + 1^{- 1})$

خطوة 7

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1^{- 1})$

خطوة 8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

خطوة 9.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 6}{6}$

خطوة 9.3

أضف $- 1$ و $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 6}$

خطوة 10.2

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{5}{12}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{5}{12}$

الصيغة العشرية:

$0.41\overline{6}$