حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

لنفترض أن $x = 2 \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \sec (t) \tan (t)$ موجبة.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.6

أعِد كتابة $4 \tan^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 \sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $2 \sec (t)$ من $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

خطوة 4

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

خطوة 5

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

خطوة 9

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

خطوة 12

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

خطوة 13

بسّط.

$2 (- t + \tan (t)) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $arcsec (\frac{x}{2})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . إذن، $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ تساوي $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

خطوة 15.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

خطوة 15.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \frac{x}{2}$ و $b = 1$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

خطوة 15.1.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

خطوة 15.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

خطوة 15.1.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

خطوة 15.1.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

خطوة 15.1.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

خطوة 15.1.9

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

خطوة 15.1.10

اضرب $\frac{x + 2}{2}$ في $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

خطوة 15.1.11

اضرب $2$ في $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

خطوة 15.1.12

أعِد كتابة $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.12.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

خطوة 15.1.12.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

خطوة 15.1.12.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

خطوة 15.1.13

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

خطوة 15.1.14

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

خطوة 15.2

لكتابة $- arcsec (\frac{x}{2})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

خطوة 15.3

اجمع $- arcsec (\frac{x}{2})$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

خطوة 15.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

خطوة 15.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

خطوة 15.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

خطوة 15.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$