حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

خطوة 2

وسّع ${(u - 1)}^{2} u^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(u - 1)}^{2}$ بالصيغة $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int (u - 1) (u - 1) u^{3} d u$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

خطوة 2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

خطوة 2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

خطوة 2.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

خطوة 2.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.8

أعِد ترتيب $u$ و $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{3} - 1 \cdot u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.9

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.10

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + 1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.12

أضف $1$ و $1$ .

$\int u^{2} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{2 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.14

أضف $2$ و $3$ .

$\int u^{5} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.15

أخرِج السالب.

$\int u^{5} - (u \cdot u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.16

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{5} - (u^{1} u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{5} - u^{1 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.18

أضف $1$ و $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.19

أخرِج السالب.

$\int u^{5} - u^{4} - (u \cdot u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.20

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - (u^{1} u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.21

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{5} - u^{4} - u^{1 + 3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.22

أضف $1$ و $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

خطوة 2.23

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{3} d u$

خطوة 2.24

اضرب $u^{3}$ في $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + u^{3} d u$

خطوة 2.25

اطرح $u^{4}$ من $- u^{4}$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{3} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{3} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{1}{6} {(x + 1)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{5} + \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$