حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} {(3 t - 1)}^{50} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 t - 1$ . إذن $d u = 3 d t$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 t - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 t - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 3 t - 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $1$ من $0$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 3 t - 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $3$ في $1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $1$ من $3$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 1}^{2} u^{50} \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{50}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{2} \frac{u^{50}}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{2} u^{50} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{50}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{51} u^{51}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{51} u^{51}]_{- 1}^{2}$

خطوة 5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{51} u^{51}$ في $2$ وفي $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{51} \cdot 2^{51}) - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

خطوة 5.2

ارفع $2$ إلى القوة $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{51} \cdot 2251799813685250 - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{1}{51}$ و $2251799813685250$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} \cdot - 1)$

خطوة 5.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + 1 (\frac{1}{51}))$

خطوة 5.4.2.2

اضرب $\frac{1}{51}$ في $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + \frac{1}{51})$

خطوة 5.4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685250 + 1}{51}$

خطوة 5.4.3.2

أضف $2251799813685250$ و $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685251}{51}$

خطوة 5.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{2251799813685251}{51}$ .

$\frac{2251799813685251}{3 \cdot 51}$

خطوة 5.4.4.2

اضرب $3$ في $51$ .

$\frac{2251799813685251}{153}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2251799813685251}{153}$

الصيغة العشرية:

$14717645841080.1$