حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \cos (\ln (x)) d x$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

$\int e^{u} \cos (u) d u$

خطوة 3

أعِد ترتيب $e^{u}$ و $\cos (u)$ .

$\int \cos (u) e^{u} d u$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = \cos (u)$ و $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u$

خطوة 6.2

اضرب $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ في $1$ .

$\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u$

خطوة 6.3

أعِد ترتيب $e^{u}$ و $\sin (u)$ .

$\cos (u) e^{u} + \int \sin (u) e^{u} d u$

خطوة 7

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = \sin (u)$ و $dv = e^{u}$ .

$\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

خطوة 8

بإيجاد قيمة $\int e^{u} \cos (u) d u$ ، وجدنا أن $\int e^{u} \cos (u) d u$ = $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2}$ .

$\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$

خطوة 9

أعِد كتابة $\frac{\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}}{2} + C$ بالصيغة $\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\cos (u) e^{u} + \sin (u) e^{u}) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) e^{\ln (x)} + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

خطوة 11.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\frac{1}{2} (\cos (\ln (x)) x + \sin (\ln (x)) x) + C$