حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (x + 1) \tan^{2} (3 x^{2} + 6 x) \sec^{2} (3 x^{2} + 6 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ . إذن $d u_{1} = (6 x + 6) d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u_{1} = (x + 1) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 6 x]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x + 6 \cdot 1$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $6$ في $1$ .

$6 x + 6$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $\tan^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{6} \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{\tan^{2} (u_{1})}{6}$ و $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})}{6} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = \tan (u_{1})$ . إذن $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{2} = \tan (u_{1})$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ بالصيغة $\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$ .

$\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$

خطوة 7

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{18} \tan^{3} (u_{1}) + C$

خطوة 7.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{1}{18} \tan^{3} (3 x^{2} + 6 x) + C$