حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

لنفترض أن $x = 3 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 3 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $3 \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.3

اضرب $9$ في $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $9$ من $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $9$ من $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.6

أعِد كتابة $9 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 \cos (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.5

اجمع $3$ و $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 3.2.6

اجمع $\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ و $\cos (t)$ .

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.7

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.8

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.10

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.11

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.12

حوّل من $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ إلى $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

خطوة 4

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\cot^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

خطوة 7

بما أن مشتق $- \cot (t)$ هو $\csc^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (t)$ هو $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

خطوة 8

بسّط.

$- t - \cot (t) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$