حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{7} x \sqrt{x + 2} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

خطوة 1.3

أضف $2$ و $2$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 7 + 2$

خطوة 1.5

أضف $7$ و $2$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{4}^{9} (u - 2) \sqrt{u} d u$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} (u - 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وسّع $(u - 2) u^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{4}^{9} u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{4}^{9} u^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.6

أضف $2$ و $1$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ في $9$ وفي $4$ .

$(\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

خطوة 8.2

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $9$ وفي $4$ .

$\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{2}{5} \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.3.4

ارفع $3$ إلى القوة $5$ .

$\frac{2}{5} \cdot 243 - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و $243$ .

$\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.4.2

اضرب $2$ في $243$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.5.4

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 32 - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اضرب $32$ في $- 1$ .

$\frac{486}{5} - 32 (\frac{2}{5}) - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.6.2

اجمع $- 32$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 32 \cdot 2}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.6.3

اضرب $- 32$ في $2$ .

$\frac{486}{5} + \frac{- 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.6.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{486}{5} - \frac{64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{486 - 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.7.2

اطرح $64$ من $486$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.8.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.8.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.8.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.9.2

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.9.3

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.3.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.9.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.9.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.9.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.9.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.9.3.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.10.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 8.10.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 8.10.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.10.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 8.10.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

خطوة 8.10.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 8)$

خطوة 8.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.11.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 - 8 (\frac{2}{3}))$

خطوة 8.11.2

اجمع $- 8$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

خطوة 8.11.3

اضرب $- 8$ في $2$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 16}{3})$

خطوة 8.11.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{16}{3})$

خطوة 8.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.12.1

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

خطوة 8.12.2

اجمع $18$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

خطوة 8.12.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{422}{5} - 2 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

خطوة 8.12.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.12.4.1

اضرب $18$ في $3$ .

$\frac{422}{5} - 2 \frac{54 - 16}{3}$

خطوة 8.12.4.2

اطرح $16$ من $54$ .

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{38}{3})$

خطوة 8.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.13.1

اجمع $- 2$ و $\frac{38}{3}$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 2 \cdot 38}{3}$

خطوة 8.13.2

اضرب $- 2$ في $38$ .

$\frac{422}{5} + \frac{- 76}{3}$

خطوة 8.13.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{422}{5} - \frac{76}{3}$

خطوة 8.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.14.1

لكتابة $\frac{422}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3}$

خطوة 8.14.2

لكتابة $- \frac{76}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 8.14.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.14.3.1

اضرب $\frac{422}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 8.14.3.2

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 8.14.3.3

اضرب $\frac{76}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

خطوة 8.14.3.4

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{15}$

خطوة 8.14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{422 \cdot 3 - 76 \cdot 5}{15}$

خطوة 8.14.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.14.5.1

اضرب $422$ في $3$ .

$\frac{1266 - 76 \cdot 5}{15}$

خطوة 8.14.5.2

اضرب $- 76$ في $5$ .

$\frac{1266 - 380}{15}$

خطوة 8.14.5.3

اطرح $380$ من $1266$ .

$\frac{886}{15}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{886}{15}$

الصيغة العشرية:

$59.0\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$59 \frac{1}{15}$