حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (x^{2} + 2) {(x + 1)}^{42} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42} d u$

خطوة 2

وسّع $({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(u - 1)}^{2}$ بالصيغة $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int ((u - 1) (u - 1) + 2) u^{42} d u$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

خطوة 2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 + 2) u^{42} d u$

خطوة 2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.8

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.9

أعِد ترتيب $u$ و $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{42} - 1 \cdot u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.10

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.11

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + 1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.13

أضف $1$ و $1$ .

$\int u^{2} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{2 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.15

أضف $2$ و $42$ .

$\int u^{44} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.16

أخرِج السالب.

$\int u^{44} - (u \cdot u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.17

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{44} - (u^{1} u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{44} - u^{1 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.19

أضف $1$ و $42$ .

$\int u^{44} - u^{43} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.20

أخرِج السالب.

$\int u^{44} - u^{43} - (u \cdot u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.21

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - (u^{1} u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.22

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{44} - u^{43} - u^{1 + 42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.23

أضف $1$ و $42$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.24

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.25

اضرب $u^{42}$ في $1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.26

اطرح $u^{43}$ من $- u^{43}$ .

$\int u^{44} - 2 u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

خطوة 2.27

أضف $u^{42}$ و $2 u^{42}$ .

$\int u^{44} - 2 u^{43} + 3 u^{42} d u$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{44} d u + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{44}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{45} u^{45}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

خطوة 5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 \int u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{43}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{44} u^{44}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + \int 3 u^{42} d u$

خطوة 7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 \int u^{42} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{42}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{43} u^{43}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 (\frac{1}{43} u^{43} + C)$

خطوة 9

بسّط.

$\frac{u^{45}}{45} - \frac{u^{44}}{22} + 3 (\frac{1}{43} u^{43}) + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + 3 (\frac{1}{43}) u^{43} + C$

خطوة 11

اجمع $3$ و $\frac{1}{43}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + \frac{3}{43} u^{43} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{1}{45} {(x + 1)}^{45} - \frac{1}{22} {(x + 1)}^{44} + \frac{3}{43} {(x + 1)}^{43} + C$