حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \cos^{-1} (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \cos^{-1} (x)$ و $d v = 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \int x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

خطوة 2

اجمع $x$ و $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \int - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\cos^{-1} (x) x - - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x + 1 \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

خطوة 4.2

اضرب $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ في $1$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 1 - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 1 - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 5.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 5.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 6.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 6.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\cos^{-1} (x) x - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\cos^{-1} (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 9

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 9.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 9.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 9.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 9.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 11

أعِد كتابة $\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\cos^{-1} (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\cos^{-1} (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{2}$ .

$\cos^{-1} (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$