حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 + 3 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 + 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 + 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 3 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$0 + 3$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $3$ .

$3$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 4 + 3 x$ .

$u_{lower} = 4 + 3 \cdot 0$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $4$ و $0$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 4 + 3 x$ .

$u_{upper} = 4 + 3 \cdot 7$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $3$ في $7$ .

$u_{upper} = 4 + 21$

خطوة 1.5.2

أضف $4$ و $21$ .

$u_{upper} = 25$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{4}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int_{4}^{25} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{25}$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $25$ وفي $4$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.3.2

اضرب $2$ في $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 6.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 6.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

خطوة 6.4.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

خطوة 6.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

خطوة 6.5.2

اجمع $- 8$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

خطوة 6.5.3

اضرب $- 8$ في $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 16}{3})$

خطوة 6.5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{16}{3})$

خطوة 6.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{250 - 16}{3}$

خطوة 6.6.2

اطرح $16$ من $250$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{234}{3}$

خطوة 6.6.3

احذِف العامل المشترك لـ $234$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.1

أخرِج العامل $3$ من $234$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3}$

خطوة 6.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 (1)}$

خطوة 6.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 \cdot 1}$

خطوة 6.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{78}{1}$

خطوة 6.6.3.2.4

اقسِم $78$ على $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 78$

خطوة 6.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $78$ .

$\frac{78}{3}$

خطوة 6.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $78$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $78$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3}$

خطوة 6.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)}$

خطوة 6.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1}$

خطوة 6.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{26}{1}$

خطوة 6.7.2.2.4

اقسِم $26$ على $1$ .

$26$