حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

لنفترض أن $x = \sec (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec (t) \tan (t)$ موجبة.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t)}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) (\tan (t))) d t$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \tan (t) \tan (t) d t$

خطوة 4

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) d t$

خطوة 5

ارفع $\tan (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) d t$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

خطوة 8

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (t)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 11

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

خطوة 12

بسّط.

$- t + \tan (t) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $arcsec (x)$ .

$- arcsec (x) + \tan (arcsec (x)) + C$