حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 1}^{1} \frac{5 r}{{(4 + r^{2})}^{2}} d r$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 + r^{2}$ . إذن $d u = 2 r d r$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = r d r$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 + r^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d r}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + r^{2}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 r$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $2 r$ .

$2 r$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $r$ في $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + {(- 1)}^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $4$ و $1$ .

$u_{lower} = 5$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $r$ في $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 4 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $4$ و $1$ .

$u_{upper} = 5$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{5}{u^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2} \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u^{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{2 u^{2}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{5}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{5}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{- 2} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} - u^{- 1}]_{5}^{5}$

خطوة 6

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $5$ وفي $5$ .

$\frac{5}{2} ((- 5^{- 1}) + 5^{- 1})$

خطوة 7

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + 5^{- 1})$

خطوة 8

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

خطوة 9

أضف $- \frac{1}{5}$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0$

خطوة 10

اضرب $\frac{5}{2}$ في $0$ .

$0$