حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int z^{7} (10 z^{8} - 4) d z$

خطوة 1

لنفترض أن $u = z^{2}$ . إذن $d u = 2 z d z$ ، لذا $\frac{1}{2 z} d u = d z$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = z^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d z}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $z^{2}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 z$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int {\sqrt{u}}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u}}^{6}$ بالصيغة $u^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot 6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\int u^{\frac{6}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

خطوة 2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

خطوة 2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

خطوة 2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

خطوة 2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int u^{\frac{3}{1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

خطوة 2.1.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\int u^{3} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{u}}^{8}$ بالصيغة $u^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{3} (5 {(u^{\frac{1}{2}})}^{8} - 2) d u$

خطوة 2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{1}{2} \cdot 8} - 2) d u$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{8}{2}} - 2) d u$

خطوة 2.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - 2) d u$

خطوة 2.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - 2) d u$

خطوة 2.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - 2) d u$

خطوة 2.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{4}{1}} - 2) d u$

خطوة 2.2.4.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$\int u^{3} (5 u^{4} - 2) d u$

خطوة 3

وسّع $u^{3} (5 u^{4} - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u^{3} (5 u^{4}) + u^{3} \cdot - 2 d u$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب $u^{3}$ و $5$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} + u^{3} \cdot - 2 d u$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب $u^{3}$ و $- 2$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} - 2 \cdot u^{3} d u$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 5 u^{3 + 4} - 2 u^{3} d u$

خطوة 3.5

أضف $3$ و $4$ .

$\int 5 u^{7} - 2 u^{3} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 5 u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

خطوة 5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{7}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) + \int - 2 u^{3} d u$

خطوة 7

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 \int u^{3} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

خطوة 9.2

أعِد كتابة $5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ بالصيغة $\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 2}{4} u^{4} + C$

خطوة 9.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 (- 1)}{4} u^{4} + C$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

خطوة 9.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

خطوة 9.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 1}{2} u^{4} + C$

خطوة 9.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{5}{8} u^{8} - \frac{1}{2} u^{4} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $z^{2}$ .

$\frac{5}{8} {(z^{2})}^{8} - \frac{1}{2} {(z^{2})}^{4} + C$