حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (θ)}{\sqrt{1 + \sin (θ)}} d θ$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + \sin (θ)$ . إذن $d u = \cos (θ) d θ$ ، لذا $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + \sin (θ)$ . أوجِد $\frac{d u}{d θ}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [1 + \sin (θ)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ هو $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $θ$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

خطوة 1.1.3

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$0 + \cos (θ)$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $θ$ في $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $θ$ في $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

خطوة 4

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $2$ وفي $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5

اضرب $2$ في $2^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $2$ في $2^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5.4

أضف $2$ و $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

خطوة 7

اضرب $- 2$ في $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

الصيغة العشرية:

$0.82842712 \dots$