حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x + 3}{{(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 x - 4$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 x - 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 4]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.2

اجمع $3$ و $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $3$ في $3$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 9}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.4.2

أضف $4$ و $9$ .

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.5

اضرب $\frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.6

اجمع.

$\int \frac{3 (\frac{u}{3} + \frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.10

اضرب $\frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}} \cdot 3} d u$

خطوة 2.11

اضرب $3$ في $3$ .

$\int \frac{u + 13}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9} \int \frac{u + 13}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{\frac{3}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

خطوة 4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5

وسّع $(u + 13) u^{- \frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{9} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{9} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{9} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5.6

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

خطوة 5.7

أعِد ترتيب $u^{\frac{- 1}{2}}$ و $13 u^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{9} (\int 13 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 8

بما أن $13$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $13$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9} (13 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 11

بسّط.

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x - 4$ .

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

لكتابة $2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

خطوة 13.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.1

انقُل ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 ({(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.1.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{1}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.2

بسّط $2 {(3 x - 4)}^{1}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x - 4)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.5

اضرب $2$ في $- 4$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x - 8}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.6

اطرح $8$ من $- 26$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{6 x - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.7

أخرِج العامل $2$ من $6 x - 34$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 34$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) + 2 (- 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.3.7.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x) + 2 (- 17)$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x - 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.4

اجمع.

$\frac{1 (2 (3 x - 17))}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

خطوة 13.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 (3 x - 17)}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$