حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 x$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (7 \frac{u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

اجمع $7$ و $\frac{u}{4}$ .

$\int (\frac{7 u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 u}{4} + e^{u} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (\int \frac{7 u}{4} d u + \int e^{u} d u)$

خطوة 5

بما أن $\frac{7}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{7}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} \int u d u + \int e^{u} d u)$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int e^{u} d u)$

خطوة 7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + e^{u} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$\frac{1}{4} (\frac{7 u^{2}}{8} + e^{u}) + C$

خطوة 8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} u^{2} + e^{u}) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} {(4 x)}^{2} + e^{4 x}) + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (4^{2} x^{2}) + e^{4 x}) + C$

خطوة 10.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (16 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

خطوة 10.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.3.1

أخرِج العامل $8$ من $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

خطوة 10.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

خطوة 10.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (7 (2 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

خطوة 10.1.4

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{1}{4} (14 x^{2} + e^{4 x}) + C$

خطوة 10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

خطوة 10.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

خطوة 10.3.2

أخرِج العامل $2$ من $14 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

خطوة 10.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

خطوة 10.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (7 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

خطوة 10.4

اجمع $7$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

خطوة 10.5

اجمع $\frac{7}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

خطوة 10.6

اجمع $\frac{1}{4}$ و $e^{4 x}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$