حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - 2 x^{2}$ . إذن $d u = - 4 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - 2 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$0 - 4 x$

خطوة 1.1.4

اطرح $4 x$ من $0$ .

$- 4 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{4}) d u$

خطوة 3

بما أن $- \frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- \frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 (- u + 1)}$ في صورة ${(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 (- u + 1)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{2^{\frac{1}{2}} {(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4.2.2

انقُل $2^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4.2.3

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $2$ في $2^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4.2.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1 - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4.2.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2 - 1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4.2.3.4

اطرح $1$ من $2$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.3.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.3.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب الأُسس في ${({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.4.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.4.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{1}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.4.2

بسّط.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.4.3

اضرب الأُسس في ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.4.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{1}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.4.4

احسِب قيمة الأُس.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.4.5

اجمع $\frac{- u + 1}{2}$ و $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 4.4.6

انقُل $u^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 6.1.2

اضرب $2$ في $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 6.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 6.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 6.2.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 6.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

وسّع $(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{8} \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7.2

أخرِج السالب.

$- \frac{1}{8} \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{8} \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{8} \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7.7

اطرح $1$ من $2$ .

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7.8

اضرب $u^{- \frac{1}{2}}$ في $1$ .

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7.9

أعِد ترتيب $- u^{\frac{1}{2}}$ و $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \frac{1}{8} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

خطوة 12

بسّط.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اجمع ${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) + C$

خطوة 14.1.2

انقُل $2$ إلى يسار ${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 14.2

لكتابة $2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 14.3

اجمع $2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 14.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 14.5

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 14.6

اضرب $- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1

اضرب $\frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 8} + C$

خطوة 14.6.2

اضرب $3$ في $8$ .

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{24} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{24} (6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$